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2004年12月03日

幾何学

今日はかなり久しぶりに数学の問題を解いた気分だ。
事の始まりは兄に頼まれたからなのだが・・・ 意外と悩んでしまった。

問題は次のような感じ。
大きな円に内接する小さな円と、その小さな円に接する直線がある。
大きな円は半径と中心点はわかっている。
小さな円は半径のみわかっている。
直線はX=84で表される。
求めるのは小さな円と直線の接点と、大きな円と小さな円の接点。

まずは方程式を立てて解こうとする。
円の方程式ってどうだったかなぁと必至に思い出して、式を立てる。
でも、解けない。
未知数が3つあるのに式は2つ。
じゃ、媒介変数方程式を使えばいいのかな?
またまた必至に思い出す。
で、式を立てるがやっぱり解けない。
解けない。
CAMか自動プロを使えばすぐに出る。もうやめ。と、いったん考えるのをやめる。
しかし、悔しいのでまた考え始める。
幾何学的に解けそうな気がする。
小さな円の中心は、大きな円の半径から小さな円の半径を引いた円周上に来るはずだ。
また、垂線に接すると言うことは、円の中心はその線と平行な直線上に位置する。
つまり、上の2つ交点に中心点はある。
中心点が求まれば、垂線と小さな円の接点はすぐに出る。
で、大きな円のほうもすぐに・・・
あれ? 方程式立てたけど解けない。
正確に言えば、解き方を忘れた。
X^2+sqrt(16^2+X^2)ってな感じの部分がある方程式を解きたいのだが、こんな感じのルートってどうやって消すんだっけ?
忘れてしまった。しばらく考えても思い出せない。
アプローチの仕方を変えてみる。
幾何学的に考えてみる。
大きな円の中心と小さな円の中心を結んだ直線上に接点は存在するはずではないのか?
なら簡単だ。
直線と円の交点は簡単に求まる。
で、やっと解けた。
合っているかどうかわからないけど。

にしてもすごく悩んでしまった。
いつも考えることと性質が異なるせいだろうか?
いつもは、いかにコンピュータに解かせるかを考えるので、力技か近似による方法をとることが多い。
でも、今回は純粋に数学的に求める必要があった。
そして、数学的に求めるとなると、つい方程式を使ってしまいがちだ。
たまにはこういった問題を考えるのもいいかもしれないな。
でも、初めに兄が描いていた図にかなり惑わされた気がする。接点や位置関係に思い込みを与えられてしまったような・・・

投稿者 Takenori : 2004年12月03日 01:04


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